②动手操作，丰富感知

　　数学知识比较抽象，而小学生的思维具有很大的具体性、形象性。因此，仅仅借助语言、文字教学，学生往往难以理解。如果让他们动手做一做，通过动手、动口、动脑、直观演示，以形象具体的知识为基础，丰富感性认识，从而上升到理性认识，总结出规律，就能达到掌握知识的目的。

　　例如，讲“分数的基本性质”一节，教师让学生拿出三张同样大小的正方形纸，动手折剪，分别取出3/4、6/8、9/12，再把剪取的部分重叠起来，这时学生意外地发现它们相等，学习兴趣立刻调动了起来。接着，教师又请大家拿出剪好的三个等圆，分别剪去1/2、4/8、6/12后，将它们重叠好，发现也相等。

　　通过多次操作，学生得知两组分数大小是相等的，教师分别用等号把两组分数连接起来，同时用线段图分别表示，进一步强化了对分数基本性质的认识。经过“折、剪、叠、画”的过程，学生头脑中已经建立起这样一个表象，即尽管每组分子、分母各不相同，但它们表示的大小相等。 www.dxs56.com

　　最后，让学生一边观察折叠的纸、圆形、图及等式，一边思考上面每组三个分数为什么相等，规律是什么，启发学生由表象到概括，进而发现规律。所以，动手操作，不仅是感知的丰富过程，也是思维的运作过程，是由形象思维到抽象思维的发展。

　　③大剂量强化训练

　　大剂量强化训练是对学生智力与个性潜能的挑战，主要包括两个方面：一是提供适量的复杂题和难题，让学生展开学习竞赛，看谁解得又快又有独创性；二是加大学习的总量，包括课上与课下，尽可能让学生接触更多的信息。我们根据教学大纲和教科书的要求，自己编制了适合于学生数学潜能开发方面的训练教材。

　　在这些教材中，除了基本知识外，主要增加数学思维方法和综合掌握方面的知识，如归一、还原、对应、转化、守恒、假设、消元、集合等思维方法，对小学数学知识分类纵贯综合，把学生所学的某一类知识纵向梳理下来，增强了学生纵向综合掌握能力和横向迁移能力。从实验班的学习情况来看，给他们增加比常规班多三分之一的学习量，是完全适宜的。实验结果表明，适当增加学习量，包括质和量两个方面，是开发潜能的必要条件。

　　④优化数学能力结构

　　我们认为，开发学生的数学潜能，优化数学能力结构是关键。数学能力结构既是开发潜能的结果，又是开发潜能的条件。只有一开始就重视数学能力结构的优化，才能很好地开发学生的数学潜能；而只有开发好潜能，才能使学生数学能力结构得以优化。

　　我们主要从三种“能力”和五种“品质”入手，加以培养。三种“能力”是运算能力、空间想象能力、逻辑运算能力；五种“品质”是思维的流畅性、灵活性、独创性、精密性和批判性。这三种“能力”和五种“品质”都化为可测评的操作指标，从实验效果中直接反映出来。 www.dxs56.com

　　三、研究的实践效果与几点认识

　　1.研究的实践效果

　　经过几年的开发研究，取得了较为显著的实践效果。对此，我们从如下方面进行鉴别衡量。

　　第一，进行智力测验，测试学生一般智力发展情况。我们请天津师大数学系、天津市教科院、天津市教育学院的有关专家对实验班学生进行了韦氏儿童智力测验（中国修订），经过12项内容的检验，智商均值为103.69，比初入学平均智商高1.3。其中类同、算术、背数、填图、排列、积木、拼图、迷津等八项分均达到优秀，反映学生的图形观察、空间想象、逻辑运算等能力有了很好的发展。

　　第二，对学生进行五种思维品质的专项测验，实验班学生在流畅性、灵活性、独创性、精密性和批判性上的得分均明显高于对比班(P<0.05)。

　　第三，通过几年来参加各种数学竞赛成绩来鉴别。在这方面，实验班学生具有不可比拟的优势。在天津市举办的三次小学“我爱数学”邀请赛中，我校都获团体总分第一名，其中实验班学生得分占绝对大的比重。在全国“华罗庚金杯赛”中，实验班学生多次夺魁，其中一名学生参加美国数学家斯坦力提供的SAT数学测试，以800分满分成绩夺魁。几年来，在市区竞赛中，实验班学生获奖达400人次，重点中学录取率在全区名列前茅。

　　第四，我们对实验班的学生不断进行学习兴趣和学习负担方面的无记名问卷测验，以了解学生的学习兴趣和负担情况。多次测验结果均显示，绝大多数学生数学兴趣高，并持续增强，但对学习负担并不感到沉重，他们已经把数学学习作为一种乐趣。这表明，尽管加大了训练，但并没有加重学生的负担。 www.dxs56.com

　　2.几点认识

　　(1)从实验效果看，我们采用的开发措施是有效的，这一点证实了原来的假设，即只要提供适当的教学内容和教法，可以开发出学生更大的数学潜能，使其在数学方面有更快更大的发展。在一至三年级全面发展打好基础情况下，识别、预测学生的潜能，把潜能好的学生组织起来，集体开发是有效的途径。以兴趣做基础，加大训练量，对于高年级学生是可行的、必要的。

　　(2)根据实验目标而进行的优化学生的数学能力结构是可取的。运算能力是各种计算所必要的，而空间想象能力是几何乃至更抽象的符号关系所必需的，逻辑思维能力是一种更抽象、更具有普遍意义的能力。上述各种能力使数学能力结构得以升华，并发生横向迁移，有助于其他知识的学习。

　　思维的流畅性反映的是学生解题运算的速度问题；灵活性反映的是学生解题运算的变异能力问题，即运用不同类型的方式方法解题，使思维具有扩散性；独创性反映的是学生解题运算的创新能力，表明学生是否有独立的新见解；精密性反映学生解题运算的严密性，运算与推理步步相连，无懈可击；批判性反映的是学生对已有知识大胆质疑问难、并敢于向权威挑战的能力，这是学生取得数学学习与探究的突出成绩的决定因素。上述五种品质对于学生的数学能力结构来说，都是必不可少的。实验效果表明，只要抓住上述三种“能力”和五种“品质”，学生便可逐步形成优化的数学能力结构。

　　(3)开发潜能与学生学习负担问题。从实验结果来看，加大了训练量，学生并没有感到负担加重。究其原因，是兴趣在其中起到了“中和”的作用，即它把负担所产生的“苦” 和“累”给“中和”了，产生了一种“满足感”、“实现感”，把负担变成了乐趣。这给我们一个深刻的启示，即所谓负担是受兴趣因素制约的。感到负担过重是因为兴趣减弱或丧失的缘故。在开发学生的潜能时，只要牢牢抓住兴趣因素，以此为基础，就不会使负担加重。 www.dxs56.com

　　(4)开发学生的数学潜能，最根本的一条是把学生置于学习主体的地位，使其自觉、主动的学。开发措施如果是外因的话，那么，学生自觉主动的学习就是内因，内外因结合，才能奏效。本实验是我校主动发展教育改革实验的一部分，实验一开始就突出了学生主动发展这一点。实验结果表明，凡是在开发潜能上成绩突出的学生，其自觉主动性就强。而学生的主体地位和学习的自觉主动性不是自发的确立和发展的，需要适当的教育条件。所以，开发学生潜能，得先给学生创造适当的学习与发展的条件。

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